One Two
Sie sind hier: Startseite Bibliothek Bonner Meteorologische Abhandlungen (BMA) Detection and stochastic modeling of nonlinear signatures in the geopotential height field of an atmospheric general circulation model,

Detection and stochastic modeling of nonlinear signatures in the geopotential height field of an atmospheric general circulation model,

ABSTRACT


The importance of nonlinearities in the governing equations for the dynamical behavior of the atmosphere on long timescales is a repeatedly debated issue among scientists. Inspired by the findings of Berner (1999), we show evidence for nonlinear signatures in the geopotential height field of a very long general circulation model (GCM) integration. When  projected onto the phase-space spanned by the leading empirical orthogonal functions the probability density (PDF) exhibits regions of enhanced probability, indicating the existence of preferred atmospheric circulation patterns. More strikingly, in some subspaces the projected mean phase-space tendencies form a distinct double-swirl pattern pointing directly to nonlinear dynamical behavior.

Attempting to fit a stochastic model to data created by a dynamical system immediately brings up the question: Is it at all possible to find such a model and if so, for which timescales is it valid? A necessary condition is the existence of a timescale separation between the slowly evolving processes represented by the deterministic dynamics and the rapidly decaying processes represented as noise. Another one ist the validity of the white-noise approximation for the rapidly decaying processes. But how can we assure the validity of these conditions without knowledge of the underlying dynamics? To address this issue, we study the decorrelation times and rates of the leading principal components. They suggest in which subspaces and for which timescales it might be possible to find a stochastic model of atmospheric behavior. We verify this hypothesis by finding specific stochastic models for a range of lags between  τ  = 12h  and τ = 96h. Within this range of lags, the stochastic models not only have stationary PDF that closely matches the PDF of the GCM; they also capture the characteristic decay times of the resolved variables to a remarkable degree.

By fitting a nonlinear stochastic model with multiplicative noise in the truncated phase space, we find that the nonlinear signatures in the tendencies are sufficient to produce the observed regions of enhanced probability in der PDF. To address whether the nonlinear deterministic part of the multiplicative (i.e., state-dependent) noise is responsible for the good fit, we investigate several simplifications of the stochastic model. We find that the simplest model that captures the nonlinear signatures in the GCM is a stochastic model with nonlinear deterministic part and additive white noise.

Each of the stochastic models is associated with a Fokker-Planck equation describing the temporal evolution of the PDF. The drift and diffusion coefficients defining the Fokker-Planck equation can be estimated from the GCM data. We find that both drift and diffusion are state dependent. Thus we expect qualitatively different dynamical behavior in different phase space regions. The integration of the Fokker-Planck equation for states,  that originate in a certain phase space region, directly yields the temporal evolution of the ensemble PDF of these states. By introducing measures for the prediction and predictability of future states, we study to what degree the stochastic model is able to reproduce the state-dependend behavior in the GCM.





ZUSAMMENFASSUNG


Die Rolle von Nichtlinearitäten in den dynamischen Grundgleichungen der Atmosphäre auf langen Zeitskalen ist ein wiederkehrendes Thema in der wissenschaftlichen Diskussion. Ausgehend von den Ergebnissen von Berner (1999), untersuchen wir Anzeichen für die Existenz nichtlinearer Signaturen im Geopotenzialfeld einer langen Integration eines globalen Zirkulationsmodells (GZM). Die Prokection der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung (WDV) der Zustände auf den Phasenraum, der von den führenden empirischen Orthogonalfunktionen aufge-
spannt wird, weist Regionen mit erhöhter Wahrscheinlichkeitsdichte auf. Dies lässt auf die Existenz bevorzugter atmosphärischer Zirkulationsmuster schließen. Noch auffallender sind die Indizien in den projizierten mittleren Phasenraumtendenzen: in einigen Unterräumen bilden sie einen ausgeprägten Doppelwirbel, der direkt auf nichtlineare Dynamik hinweist.

Der Versuch, ein stochastisches Modell empirisch an eine Zeitreihe anzupassen, wirft unmittelbar die Frage auf: Ist es überhaupt möglich, ein solches Modell zu finden und falls so, für welche Zeitskalen ist es gültig? Eine notwendige Bedingung für stochastische Modellierung ist die Existenz einer Zeitskalen-Trennung zwischen den sich langsam entwickelnden Prozessen, die durch die deterministische Dynamik dargestellt, und den schnell abklingenden Prozessen , die als Rauschen modelliert werden. Aber wie kann die Gültigkeit dieser Annahmen ohne Wissen um die zugrunde liegende Dynamik gewährleistet werden? Um diesen Aspekt zu behandeln, unter-
suchen wir die Abklingzeiten und -raten der führenden prinzipalen Komponenten. Sie bilden einen Anhaltspunkt dafür, in welchen Unterräumen es möglich sein sollte, ein stochastisches Modell für die Dynamik der Atmosphäre zu finden. Diese Hypothese wird bestätigt, indem explizite stochastische Modelle vorgestellt werden, die auf Zeitschritten zwischen  τ = 12h  und  τ = 96h  basieren. Innerhalb dieses Bereiches von Zeitschritten haben die stochastischen Modelle nicht nur eine stationäre Wahrscheinlichkeitsdichte, die der Wahrscheinlichkeitsdichte des GZM sehr ähnlich ist, sondern erfassen auch die charakteristischen Abklingzeiten der  aufgelösten Variablen auffallend gut.

Indem wir ein nichtlineares stochastisches Modell mit multiplikativem Rauschen im Phasenraum an die GZM-
Daten anpassen, zeigen wir, dass die nichtlinearen Signaturen in den Tendenzen ausreichen, um die beobach-
teten Regionen erhöhter Wahrscheinlichkeitsdichte zu produzieren. Um herauszufinden, ob es der nichtlineare deterministische Anteil oder das multiplikative - und damit zustandsabhängige - Rauschen ist, die für die gute Anpassung verantwortlich sind, untersuchen wir eine Reihe von vereinfachten stochastischen Modellen. Wir ziehen den Schluss, dass das einfachste Modell, das die nichtlinearen Signaturen des GZM erfasst, ein stocha-
stisches Modell mit nichtlinearem deterministischen Anteil und additivem weißen Rauschen ist.

Jedes stochastische Modell geht mit einer Fokker-Planck-Gleichung, die die zeitliche Entwicklung der WDV beschreibt, einher. Die Drift- und Diffusionskoeffizienten in der Fokker-Planck-Gleichung können von den GZM-
Daten geschätzt werden. Es stellt sich heraus, dass sowohl die Drift- als auch die Diffusionskoeffizienten Funktionen des Phasenraums - und damit zustandsabhängig - sind. Insofern erwarten wir qualitativ unterschied-
liches Verhalten in den einzelnen Phasenraumregionen. Durch die Integration der Fokker-Planck-Gleichung für Zustände, die in eine bestimmte Phasenraumregion fallen, erhält man die bedingte zeitliche Entwicklung der Ensemble-WDV dieser Zustände. Wir suchen, inwiefern das stochastische Modell das zustandsabhängige Verhalten des  globalen Zirkulationsmodells reproduzieren kann.




Artikelaktionen